Yakobi üsulu — rəqəmsal xətti cəbrdə diaqonal dominant xətti bərabərliklərin həllinin tapılması alqoritmi. Hər bir diaqonal element həll edilir və təxmini dəyər daxil edilir. Proses həllə yaxınlaşana kimi davam etdirilir. Bu üsula Karl Qustav Yakob Yakobinin adı verilib.
Fərz edək ki,
![{\displaystyle A\mathbf {x} =\mathbf {b} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/45d894430af69e29d6dda5aacbf4bb19336226a0)
n dərəcəli xətti bərabərliklərdir, burada:
Sonra A matrisi diaqonal D komponentinə və onun qalığı R matrisinə bölünür:
![{\displaystyle A=D+R\qquad {\text{where}}\qquad D={\begin{bmatrix}a_{11}&0&\cdots &0\\0&a_{22}&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &a_{nn}\end{bmatrix}}{\text{ and }}R={\begin{bmatrix}0&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&0&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&a_{n2}&\cdots &0\end{bmatrix}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/05e23004e83e02ab6dd00953fe2f5bc5508b09c3)
Bunun həlli təkrarlanmaqla belə tapılır
![{\displaystyle \mathbf {x} ^{(k+1)}=D^{-1}(\mathbf {b} -R\mathbf {x} ^{(k)}),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/518040211036d577c457e782130de1fa2c1eec49)
burada
,
-nin k dərəcəli approksimasiyası yaxud təkrarlanması və
,
-nin növbəti yaxud k + 1 dərəcəli təkrarlanmasıdır. Element əsaslı formula beləcə aşağıdakı kimidir:
![{\displaystyle x_{i}^{(k+1)}={\frac {1}{a_{ii}}}\left(b_{i}-\sum _{j\neq i}a_{ij}x_{j}^{(k)}\right),\quad i=1,2,\ldots ,n.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/14729abaaebeb851f7eac41e41f04a6666463849)
xi(k+1) hesablanması x(k)-də özündən başqa hər bir elementin olmasını tələb edir.
Xətti bərabərlik sistemi
formasında və onun ilkin fərz edilən həlli
verilib
![{\displaystyle A={\begin{bmatrix}2&1\\5&7\\\end{bmatrix}},\ b={\begin{bmatrix}11\\13\\\end{bmatrix}}\quad {\text{and}}\quad x^{(0)}={\begin{bmatrix}1\\1\\\end{bmatrix}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d99d9203a7aa825aeff53f7e0cbe0328ac9d56d2)
Biz
hesablamaq üçün yuxarıda verilən
bərabərliyindən istifadə edirik. Əvvəlcə biz bərabərliyi daha rahat olan
formasında yazırıq, burada
və
. Nəzərə alın ki,
, burada
və
,
matrisinin aşağı və yuxarı hissələridir. Verilən dəyərlərə əsasən
![{\displaystyle D^{-1}={\begin{bmatrix}1/2&0\\0&1/7\\\end{bmatrix}},\ L={\begin{bmatrix}0&0\\5&0\\\end{bmatrix}}\quad {\text{and}}\quad U={\begin{bmatrix}0&1\\0&0\\\end{bmatrix}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1e7928f38e2d1c02dba11044b6f1158943986218)
biz
tapırıq
![{\displaystyle T={\begin{bmatrix}1/2&0\\0&1/7\\\end{bmatrix}}\left\{{\begin{bmatrix}0&0\\-5&0\\\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}0&-1\\0&0\\\end{bmatrix}}\right\}={\begin{bmatrix}0&-1/2\\-5/7&0\\\end{bmatrix}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e6493240180d28c37f205cf4071d5c04959c9902)
Daha sonra
tapılır
![{\displaystyle C={\begin{bmatrix}1/2&0\\0&1/7\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}11\\13\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}11/2\\13/7\\\end{bmatrix}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2c303d556021fc11153b9e981e7568bd0d988f8a)
və
hesablandıqdan sonra biz
-i
kimi hesablayırıq:
![{\displaystyle x^{(1)}={\begin{bmatrix}0&-1/2\\-5/7&0\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1\\1\\\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}11/2\\13/7\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}5.0\\8/7\\\end{bmatrix}}\approx {\begin{bmatrix}5\\1.143\\\end{bmatrix}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a09ee6f5a9c7e642cdbc83f9ea211cf8f6ab79fa)
Təkrarlamanın nəticələri belədir
![{\displaystyle x^{(2)}={\begin{bmatrix}0&-1/2\\-5/7&0\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}5.0\\8/7\\\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}11/2\\13/7\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}69/14\\-12/7\\\end{bmatrix}}\approx {\begin{bmatrix}4.929\\-1.714\\\end{bmatrix}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/774f486ce8fdadd7c9e7f735e43798df0cc96c00)
Bu proses yığılmaya kimi (yəni
kiçik olana qədər) davam etdirilir. 25 təkrarlamadan sonra həll belədir
![{\displaystyle x={\begin{bmatrix}7.111\\-3.222\end{bmatrix}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5458d3839311975d33a349c54b41fbd82e3f7e98)